a) Để hai đường thẳng cách nhau, ta cần tìm giá trị của m sao cho hệ số góc của hai đường thẳng khác nhau.

Hệ số góc của đường thẳng y = (m+1)x - (2m+1) là (m+1).
Hệ số góc của đường thẳng y = (2m-1)x + 3m là (2m-1).

Để hai đường thẳng cách nhau, ta cần (m+1) ≠ (2m-1).

Giải phương trình (m+1) ≠ (2m-1):
m + 1 ≠ 2m - 1
m - 2m ≠ -1 - 1
-m ≠ -2
m ≠ 2

Vậy, giá trị của m không được bằng 2 để hai đường thẳng cách nhau.

b) Để hai đường thẳng song song, ta cần tìm giá trị của m sao cho hệ số góc của hai đường thẳng bằng nhau.

Hệ số góc của đường thẳng y = (m+1)x - (2m+1) là (m+1).
Hệ số góc của đường thẳng y = (2m-1)x + 3m là (2m-1).

Để hai đường thẳng song song, ta cần (m+1) = (2m-1).

Giải phương trình (m+1) = (2m-1):
m + 1 = 2m - 1
m - 2m = -1 - 1
-m = -2
m = 2

Vậy, giá trị của m là 2 để hai đường thẳng song song.

c) Để hai đường thẳng trùng nhau, ta cần tìm giá trị của m sao cho hệ số góc và hệ số tự do của hai đường thẳng bằng nhau.

Hệ số góc của đường thẳng y = (m+1)x - (2m+1) là (m+1).
Hệ số góc của đường thẳng y = (2m-1)x + 3m là (2m-1).

Hệ số tự do của đường thẳng y = (m+1)x - (2m+1) là -(2m+1).
Hệ số tự do của đường thẳng y = (2m-1)x + 3m là 3m.

Để hai đường thẳng trùng nhau, ta cần (m+1) = (2m-1) và -(2m+1) = 3m.

Giải hệ phương trình:
m + 1 = 2m - 1
-m = -2
m = 2

-(2m+1) = 3m
-2m - 1 = 3m
-2m - 3m = 1
-5m = 1
m = -1/5

Vậy, giá trị của m là -1/5 để hai đường thẳng trùng nhau.