a) Ta có ΔABC vuông tại A, nên AH là đường cao của ΔABC. Vì vậy, AI và HK là hình chiếu của H lên AB và AC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM là đường trung tuyến của ΔABC, nên AM song song với HK.

Vì AI và HK là song song và có cạnh chung AH, nên AIHK là hình chữ nhật.

b) Gọi O là giao điểm của IK và AM. Ta cần tính số đo góc AEK.

Vì AIHK là hình chữ nhật, nên AI song song với HK. Mà AM song song với HK, nên AM cũng song song với AI.

Do đó, tam giác AEM và AOK là hai tam giác đồng dạng (có hai cạnh tương ứng song song).

Vậy, ta có:

AE/AO = EM/OK

Vì M là trung điểm của BC, nên EM = MC/2 = AC/2.

Vì AM song song với AI, nên AO = MI = HK = HC.

Vậy, ta có:

AE/AO = AC/2/HC = AC/2/AC = 1/2

Do đó, AE = AO/2.

Vì AE = AO/2, nên góc AEK = góc AOK = 90°.

c) Gọi D là trung điểm của HC. Ta cần chứng minh BO vuông AD.

Vì AIHK là hình chữ nhật, nên AI song song với HK. Mà AI vuông góc với AB, nên HK cũng vuông góc với AB.

Vậy, HK là đường cao của tam giác ABC.

Vì vậy, AD là đường cao của tam giác ABC.

Mà BO là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BO song song với AD.

Do đó, BO vuông góc với AD.