a)Vì M là điểm chính giữa cung AB nên góc MOC = góc MBC = góc MCB.
Vì AM cắt OC tại I nên góc MCI = góc MOC = góc MCB.
Vì CK vuông góc với AM nên góc KCM = góc MCB.
Từ hai điều trên, ta có góc KCI = góc KCM + góc MCI = góc MCB + góc MCB = 2góc MCB.
Tương tự, ta có góc KNI = 2góc MCB.
Vậy góc KIC = góc KCI + góc KNI = 2góc MCB + 2góc MCB = 4góc MCB = 180°.
Vậy tứ giác IKNC là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICM là O'.
Ta sẽ chứng minh tam giác ICM đồng dạng với tam giác INO'. Vì IKNC là tứ giác nội tiếp nên góc KIC = góc KNC.
Từ đó suy ra góc KIC = góc KNC = góc KNO'. Vì tam giác IKN cân tại I nên góc KNI = góc KIN = góc KIO'. Từ hai điều trên, ta có góc KIC = góc KNI = góc KNO'.
Vậy tam giác ICM đồng dạng với tam giác INO'.
Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICM (O') nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác INO' (O) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IKN (O). Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICM luôn nằm trên một đường thẳng cố định.