Để chứng minh rằng n(n^2 – 1)(n^2 + 16) luôn chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n(n^2 – 1)(n^2 + 16) chia hết cho cả 2^3 và 3^1 và 5^1.

1. Chứng minh rằng n(n^2 – 1)(n^2 + 16) chia hết cho 2^3:
- Nếu n chẵn, ta có thể viết n = 2k, với k là số nguyên.
- Khi đó, n^2 – 1 = (2k)^2 – 1 = 4k^2 – 1 = (2k + 1)(2k – 1).
- Vì n là số chẵn, nên n^2 + 16 cũng chia hết cho 2.
- Như vậy, n(n^2 – 1)(n^2 + 16) = 2k(2k + 1)(2k – 1)(n^2 + 16) chia hết cho 2^3.

2. Chứng minh rằng n(n^2 – 1)(n^2 + 16) chia hết cho 3^1:
- Nếu n chia hết cho 3, ta có thể viết n = 3k, với k là số nguyên.
- Khi đó, n^2 – 1 = (3k)^2 – 1 = 9k^2 – 1 = (3k + 1)(3k – 1).
- Vì n chia hết cho 3, nên n^2 + 16 cũng chia hết cho 3.
- Như vậy, n(n^2 – 1)(n^2 + 16) = 3k(3k + 1)(3k – 1)(n^2 + 16) chia hết cho 3^1.

3. Chứng minh rằng n(n^2 – 1)(n^2 + 16) chia hết cho 5^1:
- Nếu n chia hết cho 5, ta có thể viết n = 5k, với k là số nguyên.
- Khi đó, n^2 – 1 = (5k)^2 – 1 = 25k^2 – 1 = (5k + 1)(5k – 1).
- Vì n chia hết cho 5, nên n^2 + 16 cũng chia hết cho 5.
- Như vậy, n(n^2 – 1)(n^2 + 16) = 5k(5k + 1)(5k – 1)(n^2 + 16) chia hết cho 5^1.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng n(n^2 – 1)(n^2 + 16) chia hết cho cả 2^3, 3^1 và 5^1. Do đó, n(n^2 – 1)(n^2 + 16) luôn chia hết cho 2^3 * 3^1 * 5^1 = 120.