Cho ABC nhọn, AB < AC, AH vuông góc với BC. HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC

Ta có:
$\angle BAC = \angle BAH + \angle HAC = \angle BHE + \angle HCF$
Do đó, $\angle BHE = \angle HCF$
Vì $HE \perp AB$ và $HF \perp AC$, nên $\angle BEH = \angle CFH = 90^\circ$
Do đó, $\triangle BEH \sim \triangle CFH$
Từ đó, ta có $\frac{BE}{CF} = \frac{EH}{FH}$
Vì $HE \perp AB$ và $HF \perp AC$, nên $EH = AB \cdot \tan \angle BAH$ và $FH = AC \cdot \tan \angle HAC$
Do đó, $\frac{BE}{CF} = \frac{AB \cdot \tan \angle BAH}{AC \cdot \tan \angle HAC}$
Vì $\angle BAH + \angle HAC = \angle BAC$, nên $\tan \angle BAH = \tan (\angle BAC - \angle HAC) = \frac{\tan \angle BAC - \tan \angle HAC}{1 + \tan \angle BAC \cdot \tan \angle HAC}$
Do đó, $\frac{BE}{CF} = \frac{AB \cdot \frac{\tan \angle BAC - \tan \angle HAC}{1 + \tan \angle BAC \cdot \tan \angle HAC}}{AC \cdot \tan \angle HAC} = \frac{AB \cdot (\tan \angle BAC - \tan \angle HAC)}{AC \cdot (1 + \tan \angle BAC \cdot \tan \angle HAC)}$
Vậy, $\tan^3 \angle C = \left(\frac{BE}{CF}\right)^3 = \left(\frac{AB \cdot (\tan \angle BAC - \tan \angle HAC)}{AC \cdot (1 + \tan \angle BAC \cdot \tan \angle HAC)}\right)^3$