a. Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC$ (do $AD$ là đường cao)
$\angle ABC = \angle BAC$ (cùng nằm trên cung $BC$)
$\angle BHC = \angle ABC$ (cùng nằm trên cung $BC$)
$\Rightarrow \angle BAC = \angle ABC = \angle BHC$
$\Rightarrow BH \parallel AC$ và $CH \parallel AB$
$\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành.

b. Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC$ (do $AD$ là đường cao)
$\angle BAK = \angle BAC$ (cùng nằm trên cung $BC$)
$\Rightarrow \angle BAK = \angle BHC$
$\Rightarrow \triangle BAK \sim \triangle BHC$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{AK}{HC} = \frac{AB}{BH}$
$\Rightarrow AK \cdot BH = AB \cdot HC$
$\Rightarrow AD \cdot AK = AB \cdot AC$

c. Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC$ (do $AD$ là đường cao)
$\angle BCK = \angle BAC$ (cùng nằm trên cung $BC$)
$\Rightarrow \angle BCK = \angle BHC$
$\Rightarrow \triangle BCK \sim \triangle BHC$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{CK}{HC} = \frac{BC}{BH}$
$\Rightarrow CK = \frac{BC \cdot HC}{BH}$
$\Rightarrow CK = \frac{BC \cdot HC}{AB}$
$\Rightarrow CK = \frac{BC \cdot HC}{2R}$ (do $AB = 2R$)
$\Rightarrow CK = \frac{BC \cdot HC}{2R} = \frac{BC \cdot MC}{2R}$ (do $M$ là trung điểm $AD$)
$\Rightarrow CK = \frac{BC \cdot MC}{2R} = \frac{BC \cdot (BC - BM)}{2R}$ (do $M$ nằm trên đường tròn)
$\Rightarrow CK = \frac{BC^2 - BC \cdot BM}{2R}$
$\Rightarrow CK = \frac{BC^2 - BC \cdot \frac{BC}{2}}{2R}$ (do $M$ là trung điểm $BC$)
$\Rightarrow CK = \frac{BC^2 - \frac{BC^2}{2}}{2R}$
$\Rightarrow CK = \frac{BC^2}{4R} = \frac{BC}{2} = \frac{BC + BC}{2} = \frac{BC + BM}{2}$
$\Rightarrow CK = \frac{BC + BM}{2}$
$\Rightarrow BCKM$ là hình thang cân.

d. Ta có:
$ON$ là đường trung trực của $BC$
$\Rightarrow ON \perp BC$
$\Rightarrow ON \perp AH$ (do $AH \parallel BC$)
$\Rightarrow AH \perp ON$
$\Rightarrow AH = 2ON$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$)