Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số E = -x^2 - y^2 + 2x - 2y - 3, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành hình vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng hàm số E có dạng tổng của các thành phần chứa x và y. Ta có thể viết lại hàm số E thành:

E = -(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 2y + 1) - 1

Tiếp theo, ta có thể hoàn thành hình vuông cho các thành phần chứa x và y:

E = -(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 2y + 1) - 1
= -(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 2y + 1) - 1 + 1 - 1
= -(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 2y + 1) - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1

Tiếp theo, ta có thể viết lại hàm số E thành:

E = -(x - 1)^2 - (y - 1)^2 - 3

Từ đó, ta nhận thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số E là -3, khi (x, y) = (1, 1).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số E là -3.