Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x^2 + 2x - 1)/(xy + y + 2) là số nguyên. Chứng minh rằng xy là số chính phương

Giả sử (x^2+2x-1)/(xy+y+2) là số nguyên, tức là tử số chia hết cho mẫu số.

Ta có: x^2 + 2x - 1 = (xy + y + 2)k, với k là số nguyên.

Đặt t = xy, ta có: x^2 + 2x - 1 = tk + yk + 2k.

Điều này tương đương với x^2 + (2 - tk)x + (1 - yk - 2k) = 0.

Để phương trình trên có nghiệm nguyên dương x, thì delta = (2 - tk)^2 - 4(1 - yk - 2k) phải là số chính phương.

Ta có: delta = 4 - 4tk + t^2k^2 - 4 + 4yk + 8k = t^2k^2 - 4tk + 4yk + 4k.

Để delta là số chính phương, ta cần tìm số nguyên dương t sao cho t^2k^2 - 4tk + 4yk + 4k là số chính phương.

Giả sử t^2k^2 - 4tk + 4yk + 4k = m^2, với m là số nguyên.

Ta có: t^2k^2 - 4tk + 4yk + 4k - m^2 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai theo biến t, với các hệ số k^2, -4k, 4y, 4.

Để phương trình trên có nghiệm nguyên dương t, thì delta' = (-4k)^2 - 4(k^2)(4y + 4) phải là số chính phương.

Ta có: delta' = 16k^2 - 16k^2(y + 1) = 16k^2(1 - y - 1) = -16k^2y.

Để delta' là số chính phương, ta cần k = 0 hoặc y = 0.

Nếu k = 0, ta có t^2k^2 - 4tk + 4yk + 4k = 4k = m^2, với m là số nguyên.

Điều này chỉ xảy ra khi k = 1 và m = 2.

Nếu y = 0, ta có t^2k^2 - 4tk + 4yk + 4k = t^2k^2 - 4tk + 4k = (tk - 2)^2, với m = tk - 2 là số nguyên.

Vậy ta có hai trường hợp xảy ra:

1. x = 1, y = 0.
2. x = 2, y = 1.

Ở cả hai trường hợp này, xy đều là số chính phương.

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu (x^2+2x-1)/(xy+y+2) là số nguyên dương, thì xy là số chính phương.