Để giải bài toán này, ta cần tìm các số nguyên n sao cho n^3 - 13n chia hết cho 6.

Để số n^3 - 13n chia hết cho 6, ta cần xét 2 trường hợp:

1. Trường hợp n chia hết cho 6:
Khi n chia hết cho 6, ta có n = 6k (với k là số nguyên).
Thay n = 6k vào biểu thức n^3 - 13n, ta có:
(6k)^3 - 13(6k) = 216k^3 - 78k = 6(36k^3 - 13k).
Vì 36k^3 - 13k là một số nguyên, nên biểu thức trên chia hết cho 6.

2. Trường hợp n không chia hết cho 6:
Khi n không chia hết cho 6, ta có 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, hoặc 6k + 5 (với k là số nguyên).
Thay các giá trị này vào biểu thức n^3 - 13n, ta có:
- Khi n = 6k + 1:
(6k + 1)^3 - 13(6k + 1) = 216k^3 + 108k^2 + 18k + 1 - 78k - 13 = 216k^3 + 108k^2 - 60k - 12 = 6(36k^3 + 18k^2 - 10k - 2).
- Khi n = 6k + 2:
(6k + 2)^3 - 13(6k + 2) = 216k^3 + 216k^2 + 72k + 8 - 78k - 26 = 216k^3 + 216k^2 - 6k - 18 = 6(36k^3 + 36k^2 - k - 3).
- Khi n = 6k + 3:
(6k + 3)^3 - 13(6k + 3) = 216k^3 + 324k^2 + 162k + 27 - 78k - 39 = 216k^3 + 324k^2 + 84k - 12 = 6(36k^3 + 54k^2 + 14k - 2).
- Khi n = 6k + 4:
(6k + 4)^3 - 13(6k + 4) = 216k^3 + 432k^2 + 288k + 64 - 78k - 52 = 216k^3 + 432k^2 + 210k + 12 = 6(36k^3 + 72k^2 + 35k + 2).
- Khi n = 6k + 5:
(6k + 5)^3 - 13(6k + 5) = 216k^3 + 540k^2 + 540k + 125 - 78k - 65 = 216k^3 + 540k^2 + 462k + 60 = 6(36k^3 + 90k^2 + 77k + 10).

Từ các trường hợp trên, ta thấy n^3 - 13n luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị của n.