a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Vì AC > AB, nên AC^2 > AB^2 + BC^2
Mà AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH^2 = AB^2 + HC^2
Ta có HD = HA, nên HD^2 = HA^2
Vậy ta có:
AC^2 > AB^2 + BC^2 = AH^2 + HC^2 = HD^2 + HC^2
Áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác HCD, ta có:
HD^2 + HC^2 = DC^2
Vậy ta có:
AC^2 > DC^2
Vì AC > DC, nên AC > DC
Mà E là điểm trên tia HC sao cho DE vuông góc với BC, nên AE > AC
Từ đó suy ra AE > DC
Vậy ta có AE > DC > AC
Nhưng ta cũng biết rằng AE < AC (vì E nằm trên tia HC)
Vậy ta có AE = AC
Nhưng ta cũng biết rằng AC = AB + BC
Vậy ta có AE = AC = AB + BC
Từ đó suy ra AE = AB

b) Gọi M là trung điểm của BE
Ta có BM = ME (vì M là trung điểm của BE)
Vì M là trung điểm của BE, nên AM cắt BC tại N sao cho BN = NC
Ta có AM = MN (vì M là trung điểm của BE)
Vì tam giác ABN và tam giác ACN có cạnh chung AN và cùng có một góc vuông tại N, nên tam giác ABN và tam giác ACN đồng dạng.
Từ đó suy ra góc BAN = góc CAN
Nhưng góc BAN = góc BAM + góc MAN = góc BAM + góc MCA (vì AM cắt BC tại N)
Vậy góc BAM = góc CAN - góc MCA
Nhưng góc CAN = góc CAH (vì tam giác ABN và tam giác ACN đồng dạng)
Vậy góc BAM = góc CAH - góc MCA
Nhưng góc CAH = 90 độ (vì AH là đường cao của tam giác ABC)
Vậy góc BAM = 90 độ - góc MCA
Nhưng góc MCA = góc MCB + góc BCA = góc MCB + 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)
Vậy góc BAM = 90 độ - (góc MCB + 90 độ) = -góc MCB
Vậy số đo góc AHM = -số đo góc MCB