Để chứng minh các mệnh đề trên, ta sử dụng các công thức trong tam giác vuông và các hệ số góc của tam giác vuông.

1. b = a.sinb = a.cosc:
   Áp dụng công thức sin trong tam giác vuông ABC: sinB = BC/AC = a/b
   Áp dụng công thức cos trong tam giác vuông ABC: cosC = BC/AC = a/b
   Do đó, ta có: sinB = cosC
   Từ đó suy ra: a.sinB = a.cosC
   Và b = a.sinB = a.cosC

2. c = a.sinc = a.cosb:
   Áp dụng công thức sin trong tam giác vuông ABC: sinC = BC/AB = a/c
   Áp dụng công thức cos trong tam giác vuông ABC: cosB = AB/AC = c/b
   Do đó, ta có: sinC = cosB
   Từ đó suy ra: a.sinc = a.cosb
   Và c = a.sinc = a.cosb

3. b = c.tanb = c.cotc:
   Áp dụng công thức tan trong tam giác vuông ABC: tanB = BC/AB = a/c
   Áp dụng công thức cot trong tam giác vuông ABC: cotC = BC/AC = a/b
   Do đó, ta có: tanB = cotC
   Từ đó suy ra: b = c.tanB = c.cotC

4. c = b.tanc = b.cotb:
   Áp dụng công thức tan trong tam giác vuông ABC: tanC = BC/AC = a/b
   Áp dụng công thức cot trong tam giác vuông ABC: cotB = AB/AC = c/b
   Do đó, ta có: tanC = cotB
   Từ đó suy ra: c = b.tanC = b.cotB

Vậy, các mệnh đề đã được chứng minh.