Cho tam giác ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE. Chứng minh: AP = AQ. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng

a. Ta có BF = PF và CE = QE (theo định nghĩa của điểm P và Q).
Khi đó, ta có:
AP = AE + EP = AE + FP = AF + FP = AF + BF = AB (vì E là trung điểm của AB)
AQ = AE + EQ = AE + CE = AF + CE = AC (vì F là trung điểm của AC)
Vậy AP = AQ.

b. Ta có AP = AQ (theo phần a). Vì P nằm trên tia đối của tia FB và Q nằm trên tia đối của tia EC, nên ta có P và Q nằm trên cùng một đường thẳng đi qua A. Vậy ba điểm P, A, Q thẳng hàng.

c. Ta có BF = PF và CE = QE (theo định nghĩa của điểm P và Q). Khi đó, ta có:
BQ = BF + FQ = PF + FQ = PQ (vì F là trung điểm của PQ)
CP = CE + EP = QE + EP = PQ (vì E là trung điểm của PQ)
Vậy BQ // AC và CP // AC.

d. Ta có AP = AQ (theo phần a) và BQ // AC, CP // AC (theo phần c). Khi đó, ta có:
∠PQR = ∠PQA + ∠AQB + ∠BQR = ∠PQA + ∠AQB + ∠BQC = ∠PQA + ∠AQB + ∠BAC = ∠PQA + ∠AQB + ∠BAC + ∠ACB + ∠BCA = 180° (vì tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180°)
Vậy PQR là tam giác có tổng các góc bằng 180°, tức là PQR là tam giác đều.
Chu vi PQR = PQ + QR + RP = AP + AQ + AC = AB + AC + AC = 2(AB + AC) = 2 chu vi ABC.

e. Ta có AP = AQ (theo phần a) và BQ // AC, CP // AC (theo phần c). Khi đó, ta có:
∠BAP = ∠PAQ (do P, A, Q thẳng hàng)
∠BAC = ∠QAC (do BQ // AC)
Vậy hai tam giác BAP và QAC có cặp góc tương đồng, từ đó suy ra AR, BP, CQ đồng quy.