Tìm tất cả các số nguyên x sao cho x+1 và x^4+1 đều là số chính phương

Để tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn điều kiện đã cho, ta cần giải phương trình sau:

x + 1 = a^2 (1)
x^4 + 1 = b^2 (2)

Trước tiên, ta xét phương trình (1). Ta thấy rằng nếu x là số chính phương, thì x + 1 không thể là số chính phương, vì nếu x + 1 = c^2, thì x = c^2 - 1, và c^2 - 1 không phải là số chính phương (vì c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1), và c - 1 và c + 1 là hai số liên tiếp, nên không thể cùng là số chính phương).

Do đó, ta chỉ cần xét phương trình (2). Ta có:

x^4 + 1 = b^2
⇒ x^4 = b^2 - 1
⇒ x^4 = (b - 1)(b + 1)

Để x^4 có thể phân tích thành tích của hai số liên tiếp (b - 1) và (b + 1), ta cần xét các trường hợp sau:

1. b - 1 = 1 và b + 1 = x^4: Ta có b = 2 và x^4 = 3, nhưng không có số nguyên x thỏa mãn điều kiện này.

2. b - 1 = x^2 và b + 1 = x^2: Ta có b = x^2 - 1 và x^2 + 1 = x^2, nhưng không có số nguyên x thỏa mãn điều kiện này.

3. b - 1 = x^4 và b + 1 = 1: Ta có b = 0 và x^4 = -1, nhưng không có số nguyên x thỏa mãn điều kiện này.

4. b - 1 = x^2 và b + 1 = x^2: Ta có b = x^2 - 1 và x^2 + 1 = x^2, nhưng không có số nguyên x thỏa mãn điều kiện này.

Từ các trường hợp trên, ta thấy không có số nguyên x thỏa mãn cả hai phương trình (1) và (2). Vậy không có số nguyên x thỏa mãn điều kiện đã cho.