Để giải phương trình tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x), ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng chỉ chứa một hàm số trigonometric.
- Sử dụng công thức sin2x = 2sinxcosx và cos2x = cos^2x - sin^2x = 1 - 2sin^2x, ta có:
tanx + cotx = 2(2sinxcosx + 1 - 2sin^2x)
= 4sinxcosx + 2 - 4sin^2x
= 4sinxcosx - 4sin^2x + 2

Bước 2: Đặt t = sinx, ta có cosx = √(1 - sin^2x) = √(1 - t^2).
- Thay sinx và cosx vào phương trình, ta được:
4t√(1 - t^2) - 4t^2 + 2 = 0

Bước 3: Giải phương trình t = 0 và t ≠ 0.
- Khi t = 0, ta có sinx = 0, suy ra x = kπ, với k là số nguyên.
- Khi t ≠ 0, ta có phương trình:
4t√(1 - t^2) - 4t^2 + 2 = 0
Đặt u = t^2, ta có:
4√(1 - u) - 4u + 2 = 0
√(1 - u) = u/2 - 1/2
Bình phương cả hai vế, ta được:
1 - u = u^2/4 - u + 1/4
u^2/4 - 2u + 1/4 = 0
(u - 1/2)^2 = 0
u - 1/2 = 0
u = 1/2
t^2 = 1/2
t = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

Bước 4: Tìm x khi t = ±√2/2.
- Khi t = √2/2, ta có sinx = √2/2, suy ra x = π/4 + kπ/2, với k là số nguyên.
- Khi t = -√2/2, ta có sinx = -√2/2, suy ra x = -π/4 + kπ/2, với k là số nguyên.

Vậy, phương trình tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) có các nghiệm là:
x = kπ, x = π/4 + kπ/2 và x = -π/4 + kπ/2, với k là số nguyên.