a) Ta có góc A = 90 độ, AB < AC, vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 3^2 + 4^2
BC^2 = 9 + 16
BC^2 = 25
BC = 5 cm

Kẻ AH vuông góc BC, ta có tam giác ABH vuông tại B. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH, ta có:
BH^2 = AB^2 - AH^2
BH^2 = 3^2 - BC^2
BH^2 = 9 - 25
BH^2 = -16 (vô lý vì không thể có căn bậc hai của một số âm)
Vậy không thể tính được BH.

Góc B = arctan(AC/AB) = arctan(4/3) (sử dụng hàm arctan trên máy tính để tính góc)

b) Ta có BK song song với AH, vậy tam giác ABK và tam giác AHC đồng dạng.
Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:
BK/KA = HC/AC
BK/KA = HC/4

Từ đề bài, ta cần chứng minh BK^2 = KA.KC, vậy ta có:
BK^2 = KA.KC
(BK/KA)^2 = KC/KA
(BK/KA)^2 = HC/4
(BK/KA)^2 = (BH/HA)^2 (vì tam giác ABH và tam giác AHC đồng dạng)
BK/KA = BH/HA
BK = BH.(KA/HA)

Vậy BK = BH.(KA/HA)

c) Vẽ AM vuông góc BK, ta có tam giác BMH vuông tại M. Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:
BMH đồng dạng tam giác BCK

Diện tích tam giác BMH trên diện tích tam giác BCK = (BM/BK)^2 = (sinK)^2 (vì tam giác BMH và tam giác BCK đồng dạng)

Diện tích tam giác BMH trên diện tích tam giác BCK = sin^2K . sin^2C (vì sinK = sinC/AC)

Vậy tam giác BMH đồng dạng tam giác BCK và diện tích tam giác BMH trên diện tích tam giác BCK = sin^2K . sin^2C.