Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE

a) Ta có:
- O là tâm đường tròn nên OB = OC = OA.
- I là trung điểm ED nên ID = IE.
- Góc EAB = 90° (do O nằm trong góc EAB).
Khi đó, ta có:
- Tam giác OIB và tam giác OIC là tam giác cân (OB = OC, IB = IC).
- Tam giác OIE và tam giác OID là tam giác cân (OE = OD, IE = ID).
Do đó, ta có:
- OI vuông góc với ED (do O là tâm đường tròn nên OI là đường phân giác của góc EOD).
- OI là đường trung tuyến của tam giác EID nên OI song song với DE.
Vậy OI vuông góc với ED.

Để chứng minh 3 điểm B, I, C cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA, ta cần chứng minh góc BIC = 90°.
Ta có:
- Góc BAC = 90° (AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Góc BAI = góc CAI (do AI là đường phân giác của góc BAC).
- Góc BAI = góc CAI = góc BCI (do IB = IC).
Vậy góc BIC = 90°.
Do đó, ta có 3 điểm B, I, C cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

b) Ta có:
- Góc BAC = 90° (AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Góc BAI = góc CAI (do AI là đường phân giác của góc BAC).
- Góc BAI = góc CAI = góc BCI (do IB = IC).
Khi đó, ta có:
- Góc BAI = góc CAI = góc BCI = góc BOC (do 3 điểm B, I, C cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA).
- Góc BOC = 90° (do OA vuông góc BC tại H).
Vậy OA vuông góc BC tại H.

Để chứng minh AB bình = AK.AI, ta cần chứng minh góc BAI = góc KAI.
Ta có:
- Góc BAI = góc CAI (do AI là đường phân giác của góc BAC).
- Góc BAI = góc CAI = góc BCI (do IB = IC).
- Góc BCI = góc KAI (do 3 điểm B, I, C cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA).
Vậy góc BAI = góc KAI.
Do đó, AB bình = AK.AI.

c) Để chứng minh góc BFO = góc CHQ, ta cần chứng minh góc BFO = góc BQH và góc CHQ = góc CQH.
Ta có:
- F là trung điểm HA nên góc BFO = góc BQH (do BF song song với QH và FO song song với BH).
- Góc CHQ = góc CQH (do CH = CQ).
Vậy góc BFO = góc CHQ.