Để giá trị của biểu thức 2x - 1/2x + 3 là một số nguyên, ta cần tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện này.

Biểu thức có thể viết lại dưới dạng: (4x^2 - 1 + 6x) / (2x)

Để biểu thức là một số nguyên, ta cần phải có 4x^2 - 1 + 6x chia hết cho 2x.

Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: (4x^2 + 6x - 1) / (2x)

Để biểu thức là một số nguyên, ta cần phải có 4x^2 + 6x - 1 chia hết cho 2x.

Điều này tương đương với việc 4x^2 + 6x - 1 chia hết cho x.

Ta có thể sử dụng định lý chia dư để giải bài toán này.

Theo định lý chia dư, nếu một đa thức P(x) chia hết cho x - a, thì P(a) = 0.

Áp dụng định lý chia dư vào bài toán này, ta có:

4x^2 + 6x - 1 chia hết cho x khi và chỉ khi 4x^2 + 6x - 1 = 0.

Giải phương trình này, ta có:

x = (-6 ± √(6^2 - 4*4*(-1))) / (2*4)
= (-6 ± √(36 + 16)) / 8
= (-6 ± √52) / 8
= (-6 ± 2√13) / 8
= (-3 ± √13) / 4

Vậy, các giá trị của x để biểu thức 2x - 1/2x + 3 là một số nguyên là (-3 + √13) / 4 và (-3 - √13) / 4.