Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH, Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC

Để chứng minh BM.BA + CN.CA = 2BH.CH = BC^2, ta sẽ sử dụng định lí hình chiếu và định lí Euclid.

Định lí hình chiếu: Trong một tam giác nhọn ABC, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác nhọn AHB và AHC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Khi đó, ta có:

1) BM.BA = BH^2
2) CN.CA = CH^2

Định lí Euclid: Trong một tam giác nhọn ABC, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác nhọn AHB và AHC. Khi đó, ta có:

3) BH.CH = BC^2

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh BM.BA + CN.CA = 2BH.CH = BC^2.

Ta có:
BM.BA + CN.CA = BH^2 + CH^2 (từ định lí hình chiếu)
= BH.CH + BH.CH (từ định lí Euclid)
= 2BH.CH
= BC^2 (từ định lí Euclid)

Vậy, ta đã chứng minh được BM.BA + CN.CA = 2BH.CH = BC^2.