Cho tam giác DEF vuông tại D, DF < DF, EM là phân giác, trên EF lấy N sao cho ED = EN a)CMR: MN vuông góc EF b) Vẽ DH là đường cao của tam giác DEF. Tứ giác DHNM là hình gì vì sao. c) Gọi I là giao điểm của DH và EM, giao điểm của NI và DE là K, chứng minh DKNF là hình thang vuông

a) Ta có EM là phân giác của tam giác DEF, nên $\angle DEM = \angle FEM$. Mà $ED = EN$, nên tam giác DEN cân tại D. Do đó, $\angle DEN = \angle DNE$. Từ đó suy ra $\angle DEM = \angle DEN = \angle DNE$. Vậy tam giác MEN là tam giác cân tại M. Mà tam giác cân có đường cao là đường trung tuyến, nên MN vuông góc EF.

b) Ta có DH là đường cao của tam giác DEF, nên $\angle DHF = 90^\circ$. Mà MN vuông góc EF (theo phần a), nên $\angle MNF = 90^\circ$. Vậy tứ giác DHNM là hình chữ nhật.

c) Gọi I là giao điểm của DH và EM, giao điểm của NI và DE là K. Ta có DH là đường cao của tam giác DEF, nên DI là đường cao của tam giác DEN. Mà tam giác DEN cân tại D, nên DI cũng là đường trung tuyến của tam giác DEN. Do đó, DI cắt EM tại trung điểm của EM, gọi là I.

Ta có $\angle DKN = \angle DEN$ (do KN là phân giác của tam giác DEN) và $\angle KDN = \angle EDN$ (do KN là phân giác của tam giác DEN). Mà tam giác DEN cân tại D, nên $\angle DEN = \angle EDN$. Từ đó suy ra $\angle DKN = \angle KDN$. Vậy DKNF là hình thang vuông.