a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AB² = AH² + BH²
AB² = AH² + 2²
AB² = AH² + 4
AB = √(AH² + 4)

AC² = AH² + CH²
AC² = AH² + 8²
AC² = AH² + 64
AC = √(AH² + 64)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc C = 90°.

b) Ta có tam giác ADH đồng dạng với tam giác CEH, nên theo định lý đồng dạng tam giác, ta có:
HD/HE = AD/CE
HD/2HD = AD/CH
1/2 = AD/8
AD = 4

Do đó, EH = 2HD.

c) Đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BH tại M, cắt CH tại N. Ta cần chứng minh rằng M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

Ta có:
DE // BC (do DE là hình chiếu của H trên BC)
Do đó, góc BDE = góc ABC = 90°.

Vì góc BDE = 90°, nên BD là đường cao của tam giác ABC.
Vì góc ABC = 90°, nên BD cũng là đường cao của tam giác ABC.
Vậy, BD là đường cao chung của tam giác ABC và tam giác ABD.

Vì M là trung điểm của BH, nên BM = MH.
Vì BD là đường cao chung của tam giác ABC và tam giác ABD, nên BM là đường cao của tam giác ABD.
Vậy, BM là đường cao chung của tam giác ABC và tam giác ABD.

Tương tự, ta chứng minh được rằng CN là đường cao chung của tam giác ABC và tam giác ACD.

Vậy, M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.