Cho biểu thức: A a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa, hãy chứng tỏ giá trị nhỏ nhất của biểu thức A không phụ thuộc vào x

a) Để biểu thức A có nghĩa, ta cần xác định các giá trị của x và y sao cho mẫu số của biểu thức không bằng 0. Mẫu số của biểu thức là √(xy), nên ta cần xác định điều kiện √(xy) ≠ 0.

Điều kiện này tương đương với xy ≠ 0, tức là x và y không đồng thời bằng 0.

b) Khi A có nghĩa, ta có thể chứng tỏ giá trị nhỏ nhất của biểu thức A không phụ thuộc vào x.

Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình (Mean Value Theorem).

Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm f(t) = √(t), ta có:
f(x) - f(y) = (x - y)f'(c), với c nằm giữa x và y.

Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm g(t) = t√(x), ta có:
g(x) - g(y) = (x - y)g'(d), với d nằm giữa x và y.

Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm h(t) = t√(y), ta có:
h(x) - h(y) = (x - y)h'(e), với e nằm giữa x và y.

Thay các giá trị trên vào biểu thức A, ta có:
A = [(f(x) + h(x))^2 - 4g(x)] / [f(x) - g(x) - h(x) + g(y) + h(y)]
= [(f(x) + h(x))^2 - 4g(x)] / [(x - y)(f'(c) - g'(d) - h'(e))]

Vì f'(c), g'(d), h'(e) đều khác 0 (do c, d, e nằm giữa x và y), nên ta có:
A = [(f(x) + h(x))^2 - 4g(x)] / [(x - y)(f'(c) - g'(d) - h'(e))]
= [(f(x) + h(x))^2 - 4g(x)] / (x - y) * 1 / (f'(c) - g'(d) - h'(e))

Vì f(x), g(x), h(x) đều không âm (do căn bậc 2), nên ta có:
(f(x) + h(x))^2 ≥ 4g(x)

Do đó, ta có:
A ≥ 1 / (f'(c) - g'(d) - h'(e))

Vì f'(c), g'(d), h'(e) đều khác 0, nên ta có:
A ≥ 1 / (f'(c) - g'(d) - h'(e)) > 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 0, và không phụ thuộc vào x.