Cho a,b,c là các số thực dương, cmr: ab/c +bc/a +ca/b ≥ căn[3(a^2+b^2+c^2))

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số a, b, c ta có:
ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3√[(ab/c)(bc/a)(ca/b)]

Ta có thể rút gọn được các số hạng trong dấu căn bằng cách loại bỏ các phân số:
3√[(ab/c)(bc/a)(ca/b)] = 3√[(ab)(bc)(ca)/(c)(a)(b)] = 3√[(abc)^2/(abc)(abc)] = 3√[abc/(abc)] = 3√1 = 3

Vậy ta có: ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3

Tuy nhiên, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta cần chứng minh rằng 3 ≥ √[3(a^2+b^2+c^2)]

Bình phương cả 2 vế của bất đẳng thức ta được:
9 ≥ 3(a^2+b^2+c^2)

Chia cả 2 vế cho 3 ta có:
3 ≥ a^2+b^2+c^2

Đây là một kết quả đúng vì a, b, c là các số thực dương.

Vậy ta có: ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3 ≥ √[3(a^2+b^2+c^2)]

Bất đẳng thức đã được chứng minh.