a. Ta có BD = BA và góc B là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, AH là đường cao của tam giác ABD. Vì vậy, H nằm trên đoạn thẳng BD. Tương tự, ta cũng có AH là đường cao của tam giác ABC, nên H nằm trên đoạn thẳng BC. Vậy H nằm giữa B và D.

b. Ta cần chứng minh AD = DE. Ta có BD = BA và góc B là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, AD = AB. Ta cũng có góc A là góc vuông, nên tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A. Vậy AD = DE. Từ đó, ta suy ra BE là đường trung trực của đoạn AD.

c. Ta cần chứng minh góc HAD = góc CAH. Ta có góc B là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, góc BAD = góc BDA. Ta cũng có góc A là góc vuông, nên tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A. Từ đó, góc AED = góc ADE. Vì AD = DE (đã chứng minh ở b), nên tam giác ADE là tam giác đều. Vậy góc AED = 60 độ. Từ đó, góc HAD = 180 - góc AED = 180 - 60 = 120 độ. Ta cũng có góc CAH = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A). Vậy góc HAD = góc CAH. Từ đó, ta suy ra tia AD là tia phân giác của góc HAC.

d. Ta cần chứng minh HD < DC. Ta có góc B là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, AD = BD. Ta cũng có góc A là góc vuông, nên tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A. Từ đó, AD = DE. Vậy ta có BD = DE. Vì H nằm giữa B và D (đã chứng minh ở a), nên ta có HD < BD. Từ đó, ta suy ra HD < DC (vì BD = DC).