a. Để chứng minh điểm H nằm giữa B và D, ta cần chứng minh BD = DH.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định nghĩa đường cao, AH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có AH ⊥ BC.

Vì BD = BA (theo đề bài), và AH ⊥ BC, nên ta có ∠BAH = ∠BDH (góc vuông cùng chân).

Vì ∠BAH = ∠BDH và ∠BHA = ∠BHD (góc vuông), nên tam giác BAH và tam giác BDH là hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau. Do đó, theo nguyên lý góc đồng dạng, ta có tam giác BAH và tam giác BDH đồng dạng.

Từ đó, ta có BD/BA = BH/BA, suy ra BH = BD.

Vậy, điểm H nằm giữa B và D.

b. Để chứng minh BE là đường trung trực của đoạn AD, ta cần chứng minh ∠BED = ∠DEA.

Vì AH ⊥ BC và BD ⊥ AC, nên ta có ∠BAH = ∠BDH (góc vuông cùng chân) và ∠BHA = ∠BHD (góc vuông).

Từ đó, ta có tam giác BAH và tam giác BDH đồng dạng.

Do đó, theo nguyên lý góc đồng dạng, ta có ∠BED = ∠DEA.

Vậy, BE là đường trung trực của đoạn AD.

c. Để chứng minh tia AD là tia phân giác của HAC, ta cần chứng minh ∠DAH = ∠CAH.

Vì tam giác BAH và tam giác BDH đồng dạng (đã chứng minh ở câu a), nên ta có BH/BA = BD/BA, suy ra BH = BD.

Vì BD = BA (theo đề bài), nên BH = BA.

Từ đó, ta có tam giác BAH là tam giác cân.

Vì AH ⊥ BC, nên ∠BAH = ∠CAH (góc vuông).

Vậy, tia AD là tia phân giác của HAC.

d. Để chứng minh HD < DC, ta cần chứng minh ∠HDC < ∠DCH.

Vì tam giác BAH và tam giác BDH đồng dạng (đã chứng minh ở câu a), nên ta có BH/BA = BD/BA, suy ra BH = BD.

Vì BD = BA (theo đề bài), nên BH = BA.

Vì tam giác BAH là tam giác cân, nên ∠BAH = ∠BHA.

Vì ∠BAH = ∠BDH (góc vuông cùng chân), nên ∠BHA = ∠BDH.

Vậy, ta có tam giác BHA và tam giác BDH là hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau.

Do đó, theo nguyên lý góc đồng dạng, ta có tam giác BHA và tam giác BDH đồng dạng.

Từ đó, ta có HD/HA = BD/BA, suy ra HD = (BD/BA) * HA.

Vì BH = BD và AH ⊥ BC, nên ta có HD = (BH/BA) * HA = HA.

Vì HA < BA (vì A là góc vuông), nên HD < HA.

Vì HD < HA và HA = DC (do tam giác BAH cân), nên HD < DC.

Vậy, HD < DC.