a) Ta có AE = 1/3 AC và AD = AE, suy ra AD = 1/3 AC.
Vì EB = EC và AD = 1/3 AC, nên ta có:
BD = BE + ED = BE + AD = BE + 1/3 AC.
AB = AE + EB = 1/3 AC + BE.
Vậy ΔABD = ΔABE (theo nguyên tắc cạnh - góc - cạnh) và ΔBDE đều (theo nguyên tắc cạnh - cạnh - cạnh).

b) Ta có ΔABD = ΔABE (đã chứng minh ở câu a).
Vì AB = AB và AD = AE, nên góc BAD = góc BAE.
Vậy BE là phân giác của góc ABC (theo định nghĩa phân giác).

c) Ta có ΔABD = ΔABE (đã chứng minh ở câu a).
Vì AB = AB và AD = AE, nên góc BAD = góc BAE.
Vậy góc BDA = góc BEA.
Vì góc BEA + góc BEC = 180° (góc bù), nên góc BDA + góc BEC = 180°.
Vậy BD vuông BC (theo định nghĩa góc nội tiếp).

d) Ta có BE = EC và góc BEC = góc BDA (đã chứng minh ở câu c).
Vậy ΔBEC = ΔBDA (theo nguyên tắc cạnh - góc - cạnh).
Vì BD = BE + ED = BE + EC, nên BD = BE + EC = 2BE.
Vậy BE = BD/2.
Kẻ EK vuông BC tại K, ta có:
BK = BD/2 = BE và KC = EC.
Vậy KB = KC (theo định nghĩa đường phân giác).