Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh AB = CD, chứng minh AM < (AB + AC)/2

Ta có tam giác ABC với đường trung tuyến AM trên tia đối của tia ma, và MD = MA.

Vì AM là đường trung tuyến, nên AM = MB. (1)

Vì MD = MA, nên tam giác AMD là tam giác cân tại M. (2)

Từ (1) và (2), ta có AM = MB = MD.

Vì tam giác AMD là tam giác cân, nên góc AMD = góc ADM.

Vì góc AMD = góc ADM và AM = MD, nên tam giác AMD là tam giác đều.

Do đó, góc MDA = 60 độ.

Vì góc MDA = 60 độ, nên góc MDC = 180 - 60 = 120 độ.

Vì góc MDC = 120 độ, nên góc BDC = 180 - 120 = 60 độ.

Vì góc BDC = 60 độ và góc BCD = 60 độ, nên tam giác BCD là tam giác đều.

Do đó, BC = CD.

Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên BD = BC.

Vì AB = AM + MB = AM + MD = AD.

Vậy, AB = CD.

Để chứng minh AM < (AB + AC)/2, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:

AB + AC > BC.

Vì BC = CD, nên AB + AC > CD.

Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho 2, ta có:

(AB + AC)/2 > CD/2.

Vì AB = CD, nên (AB + AC)/2 > AB/2.

Vậy, AM < (AB + AC)/2.