a) Ta có BD = BA và góc B là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A. Do đó, ta có AH là đường cao của tam giác ABC và H nằm trên đoạn BD. Vậy H nằm giữa B và D.

b) Ta cần chứng minh BE là đường trung trực của đoạn AD.
Gọi M là trung điểm của đoạn AD. Ta cần chứng minh BM vuông góc với AD.
Vì BM là đường trung trực của đoạn AD nên BM đi qua trung điểm M của AD và BM = MA.
Ta có BA = BD và góc B là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A.
Vậy MA là đường cao của tam giác ABD và MA vuông góc với BD.
Do đó, BM vuông góc với AD và BE là đường trung trực của đoạn AD.

c) Ta cần chứng minh tia AD là tia phân giác của góc HAC.
Gọi I là giao điểm của tia AD và đường cao AH.
Ta cần chứng minh góc HAI = góc IAC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ.
Vì tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A, nên góc BAD = 45 độ.
Vậy góc BAI = góc IAC.
Ta có góc HAI = góc BAI + góc BAH = góc IAC + góc BAH.
Vậy góc HAI = góc IAC và tia AD là tia phân giác của góc HAC.

d) Ta cần chứng minh HD < DC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ.
Vì tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A, nên góc BAD = 45 độ.
Vậy góc BAH = góc BAD - góc HAD = 45 độ - góc HAD.
Vì góc BAH = góc HAD, nên góc BAH = góc HAD = 22.5 độ.
Vì góc BAC = 45 độ, nên góc BAC + góc BAH = 45 độ + 22.5 độ = 67.5 độ.
Vậy góc BAC + góc BAH + góc AHD = 67.5 độ + góc AHD = 180 độ (tổng các góc trong tam giác).
Vậy góc AHD = 180 độ - 67.5 độ = 112.5 độ.
Vì góc AHD là góc nhọn, nên góc AHD < góc ACD.
Vậy HD < DC.