Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy E trên tia đối của CA lấy F sao cho BE = CF

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. Vì BE = CF, nên ta có AB + BE = AC + CF. Từ đó suy ra AE = AF.
Khi đó, ta có tam giác BEI và tam giác AFI có hai cạnh bằng nhau (BE = AF) và cạnh chung (EI = FI) nên theo nguyên lý cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác BEI cân.

b) Ta có tam giác BEI cân, nên góc BIE = góc BEI. Vì EI // AF, nên góc BEI = góc EAF. Như vậy, góc BIE = góc EAF.
Tương tự, ta có tam giác AFI cân, nên góc AIF = góc AFI. Vì EI // AF, nên góc AFI = góc EAI. Như vậy, góc AIF = góc EAI.
Từ hai phương trình trên, suy ra góc BIE = góc AIF. Vậy, ta có góc BIE = góc AIF = góc BAF.
Do đó, ta có tam giác BIE và tam giác AIF đồng dạng, nên tỉ số đồng dạng của các cạnh là bằng nhau:
BE/AF = BI/AI = IE/IF.
Vì BE = CF, nên ta có BE/AF = CF/AF. Từ đó suy ra BE/AF = CF/AF = BE/CF.
Khi đó, ta có tỉ số đồng dạng của các cạnh trong tam giác BEO và tam giác CFO là bằng nhau:
BE/CF = EO/FO.
Từ đó suy ra EO/FO = BE/CF = 1.
Vậy, ta có EO = FO.

c) Ta đã chứng minh được tam giác BEI cân, nên góc BEI = góc BEI = góc BAF.
Vì EI // AF, nên góc BEI = góc BAF = góc EAF.
Do đó, ta có góc EAF = góc BAF.
Tương tự, ta có góc EFA = góc CAF.
Từ hai phương trình trên, suy ra góc EAF = góc CAF.
Vậy, ta có tam giác EAF và tam giác CAF đồng dạng, nên tỉ số đồng dạng của các cạnh là bằng nhau:
AE/AC = AF/AF = EF/CF.
Vì AE = AF, nên ta có AE/AC = AF/AF = AE/CF.
Khi đó, ta có tỉ số đồng dạng của các cạnh trong tam giác EKF và tam giác CKF là bằng nhau:
EK/CK = FK/CK.
Từ đó suy ra EK = FK.
Vậy, ta có tam giác EKF cân và OK vuông góc với EF.