Để chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn đường CD, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

1. HK vuông góc với CD.
2. HK đi qua tâm của đường tròn đường CD.

Bước 1: Chứng minh HK vuông góc với CD.
Gọi E là giao điểm của HK và CD. Ta cần chứng minh HK vuông góc với CD, tức là góc HEK bằng 90 độ.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA. Vì góc A tù, nên góc BAC > 90 độ. Do đó, góc BAC + góc BCA > 180 độ.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
- Góc BAC + góc BCA + góc ABC = 180 độ (tổng các góc trong tam giác).
- Góc BAC + góc BCA + góc MAB = 180 độ (góc ngoài của tam giác ABC).

Do đó, góc ABC = góc MAB. Vì góc ABC = góc MAB, nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác MAB.

Vậy, ta có:
- Góc BAC = góc MAB.
- Góc BCA = góc MBA.

Do đó, tam giác BAC đồng dạng với tam giác MBA.

Vì tam giác BAC đồng dạng với tam giác MBA, nên tỉ số độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

Ta có:
- AB/AC = AM/AK (từ đồng dạng tam giác BAC và tam giác MBA).
- AB/AC = AM/AK = 1/2 (vì tam giác ABC cân tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC).

Vậy, ta có AK = 2AC.

Bước 2: Chứng minh HK đi qua tâm của đường tròn đường CD.
Gọi O là tâm của đường tròn đường CD. Ta cần chứng minh HK đi qua O.

Vì AK = 2AC, nên ta có:
- AO = AC + CO (vì O nằm trên đường thẳng AC).
- AO = AC + CO = AC + CK (vì O nằm trên đường tròn đường CD).

Vậy, ta có AO = AC + CK.

Do đó, ta có HK đi qua tâm của đường tròn đường CD.

Từ hai điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường CD.