Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN. Đường thẳng AO và BO lần lượt cắt CD tại K và L. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DL=LK=KC

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DL = LK = KC, ta sẽ chứng minh hai phần riêng biệt:

Phần 1: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành, thì DL = LK = KC.

Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có:

AB || CD và AD || BC.

Do đó, ta có:

∠CAB = ∠CDA (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

∠BCA = ∠BDC (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC, nên ta có:

AM = MD và BN = NC.

Do đó, ta có:

∠AMD = ∠BNC (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

Vì O là giao điểm của CM và DN, nên ta có:

∠OMA = ∠ONB (đồng quy OMBN).

Vì AO || BC và BO || AD, nên ta có:

∠KDL = ∠OMA (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

∠DLK = ∠ONB (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

Vậy ta có:

∠KDL = ∠DLK.

Từ đó suy ra DL = LK.

Tương tự, ta có:

∠KLC = ∠OMA (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

∠LKC = ∠ONB (cùng chắn cung CD trên đường tròn (C, A, D)).

Vậy ta có:

∠KLC = ∠LKC.

Từ đó suy ra LK = KC.

Vậy ta đã chứng minh được DL = LK = KC khi tứ giác ABCD là hình bình hành.

Phần 2: Nếu DL = LK = KC, thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giả sử DL = LK = KC.

Ta có:

∠KDL = ∠DLK (do DL = LK).

∠KLC = ∠LKC (do LK = KC).

Vì DL = LK = KC, nên ta có:

∠KDL = ∠DLK = ∠KLC = ∠LKC.

Do đó, tứ giác KDLK là hình vuông.

Vì DL = LK = KC, nên ta có:

∠KDC = ∠KCD (cùng chắn cung DL trên đường tròn (K, D, C)).

∠KCD = ∠KDC (cùng chắn cung LK trên đường tròn (K, D, C)).

Vậy ta có:

∠KDC = ∠KCD.

Từ đó suy ra KD = KC.

Tương tự, ta có:

∠KAD = ∠KBC.

∠KBC = ∠KAD.

Vậy ta có:

∠KAD = ∠KBC.

Từ đó suy ra KA = KB.

Vậy ta đã chứng minh được KD = KC và KA = KB khi tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tóm lại, tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DL = LK = KC.