Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, Gọi D là trung điểm của AC, Đường thẳng qua D và vuông góc với BC cắt đường thẳng qua C và vuông góc với CA tại M, Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA

(a) Ta có AD là đường cao của tam giác ABC, nên BD = DC.
Do đó, ta có DM vuông góc với BC và BD = DC, nên MD là đường trung tuyến của tam giác BDC.
Vậy, MD = MC.
Mà D là trung điểm của AC, nên MD = AD/2 = CD/2.
Vậy, ta có MD = MC = CD/2.
Do đó, tam giác MCD là tam giác đều.
Mà DM vuông góc với BC, nên MC cũng vuông góc với BC.
Vậy, tam giác MCB cũng là tam giác đều.
Do đó, MC = MB.
Mà E là giao điểm của DM và BA, nên ta có DE // AB.
Vậy, tam giác ADE và tam giác ABC có cặp góc tương đương, nên tứ giác AMCE là hình bình hành.

(b) Ta có BM // AF (do BM và AF đều vuông góc với CM).
Gọi H là giao điểm của BM và AF.
Do BM // AF, nên ta có BH/HA = BM/MF.
Mà G là giao điểm của BM và AF, nên ta có BG/GA = BM/MF.
Vậy, ta có BH/HA = BG/GA.
Mà H là trung điểm của BM, nên BH = HM.
Vậy, ta có HM/HA = BG/GA.
Mà M là trung điểm của CD, nên HM = MC/2 = CD/2.
Vậy, ta có CD/2/HA = BG/GA.
Mà CD = 2MD, nên ta có MD/HA = BG/GA.
Mà MD = MC, nên ta có MC/HA = BG/GA.
Vậy, ta có MC/HA = BG/GA = 1.
Do đó, ta có MC = HA và BG = GA.
Vậy, G là trung điểm của BM và GA = GC.