a) Ta có AK = KB (vì K là trung điểm của AB) và AI = ID (vì I là trung điểm của CD).
Vì AK = KB và AI = ID, nên tam giác AKI và KID là tam giác đồng dạng (cạnh bên tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có góc KAI = góc KDI.
Vì KI là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên góc KAI = góc KDI = 90 độ.
Vậy tam giác AKI và KID là tam giác vuông cân.
Do đó, ta có tam giác ADM = tam giác CBN (vì cạnh bên tương ứng bằng nhau và góc vuông tương ứng bằng nhau).

b) Ta có góc MAC = góc NCA (vì cạnh bên tương ứng bằng nhau và góc vuông tương ứng bằng nhau).
Ta cũng có góc KAI = góc KDI = 90 độ (vì tam giác AKI và KID là tam giác vuông cân).
Vậy ta có IM // CN (vì cặp góc tương ứng bằng nhau).

c) Ta có AK = KB (vì K là trung điểm của AB) và AI = ID (vì I là trung điểm của CD).
Vì AK = KB và AI = ID, nên tam giác AKI và KID là tam giác đồng dạng (cạnh bên tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có AM = MD và CN = NB (vì cạnh bên tương ứng bằng nhau).
Vậy ta có DM = MN = NB.

d) Để chứng minh AC, BD và IK đồng qui tại một điểm, ta cần thêm thông tin về hình bình hành ABCD hoặc sử dụng các định lý trong hình học để chứng minh.