a.

Xét Δ và DeltaAEK có:

hat(ACE)=hat(AKE)=90^o

AC=AK (gt)

AE chung

=> DeltaAEC=DeltaAEK   (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=>hat(CAE)=hat(KAE) (2 góc tương ứng)

=>AE là phân giác của hat(CAB)

DeltaEKB vuông tại K có: EK<EB

mà EC=EK   (DeltaAEC=DeltaAEK )

=>EC<EB

b.

Ta có: hatA=60^o=>hatB=30^o

hat(KAE)=hatA/2=>hat(KAE)=30^o

=>Delta EAB cân tại E

mà BK⊥AB

=>EK vừa là đường cao vừa là trung tuyến của DeltaEAB

=>K là trung điểm AB

Ta có: 

AK=AC (gt)

AK = (AB)/2    (K là trung điểm AB`)

=>AC=(AB)/2  

=>AB=2AC

c.

Do DeltaEAB cân tại E

=>EA=EB

DeltaACE vuông tại C có: EA>AC

mà EA=EB (cmt) 

=>EB>AC

d.

Xét DeltaAEC và DeltaBED có:

hat(ACE)=hat(BDE)=90^o

AE=BE (cmt)

hat(AEC)=hat(BED) (đối đỉnh)

=>DeltaAEC=DeltaBED (cạnh huyền - góc nhọn)

=>hat(CAE)=hat(DBE)=30^o

=>hat(ABG)=hat(ABC)+hat(DBE)=60^o  

Xét DeltaAGB có:

hat(GAB)=hat(ABG)=60^o

=>hat(AGB)=60^o

DeltaAGB có hat(ABG)=hat(AGB)=60^o

=>DeltaAGB đều

e.

Xét DeltaGAB có:

AD là đường cao

BC là đường cao

mà AD cắt BC tại E

=>E là trực tâm DeltaGAB

=>GE⊥AB

Ta có: GE⊥AB,EK⊥AB

=>G,E,K thẳng hàng

=>AD,BC,KE đồng quy tại điểm E