a) Gọi góc B là x. Vì tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C = (180 - góc A)/2 = (180 - 80)/2 = 50 độ.

b) Ta có BD = CE < 1/2 BC. Gọi I là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh AI là đường trung bình của tam giác ADE.

Vì BD = CE nên tam giác BDE là tam giác cân. Vì góc B = góc C nên góc BDI = góc CDI. Vậy BD = CD.

Do đó, tam giác BCD là tam giác cân. Vì BD = CD nên góc CBD = góc BCD.

Vậy góc BDI = góc CDI = góc CBD = góc BCD.

Vậy tam giác BDI và tam giác CDI là tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có:

BD/BI = CD/CI

BD/(BD + ID) = CD/(CD + ID)

BD(BD + ID) = CD(CD + ID)

BD^2 + BD.ID = CD^2 + CD.ID

BD^2 - CD^2 = CD.ID - BD.ID

(BD - CD)(BD + CD) = ID(CD - BD)

BD - CD = -ID

BD + CD = ID

Vậy BD = CD = ID/2.

Vậy tam giác ADE cân.

c) Ta có góc DHK = góc B + góc C = 50 + 50 = 100 độ.

Vì tam giác DHK có tổng các góc bằng 180 độ nên tam giác DHK là tam giác vuông tại H.

Tương tự, ta có góc DKH = góc B + góc C = 50 + 50 = 100 độ.

Vậy tam giác DHK là tam giác vuông tại K.

Do đó, AH = AK.

d) Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh AM, DH, EK cắt nhau tại một điểm.

Vì M là trung điểm của BC nên AM song song với DE.

Vì tam giác ADE cân nên AH là đường trung tuyến của tam giác ADE. Vậy AH cắt DE tại một điểm, gọi là X.

Vì tam giác DHK là tam giác vuông tại H nên DH là đường cao của tam giác DHK. Vậy DH cắt HK tại một điểm, gọi là Y.

Vì tam giác DKH là tam giác vuông tại K nên DK là đường cao của tam giác DKH. Vậy DK cắt HK tại một điểm, gọi là Z.

Vậy AM, DH, EK cắt nhau tại một điểm, gọi là P.