a) Ta có tam giác ABC nằm trong đường tròn tâm O, nên góc BOC là góc nhọn. Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên góc BHC là góc nhọn. Do đó, góc BOC = góc BHC.
Mặt khác, góc BOC là góc ở tâm, nên góc BOC = 2 * góc BAC.
Tương tự, góc BHC = 2 * góc ABC.
Vậy góc BOC = góc BHC = 2 * góc BAC = 2 * góc ABC.
Do đó, tam giác BHCD là hình bình hành.

b) Gọi I' là điểm đối xứng của I qua trung điểm của AD. Ta sẽ chứng minh rằng I', H, D thẳng hàng và AH = 2OI.

Vì I là trung điểm của BC, nên I' là trung điểm của HD (do HD song song với BC).
Vì I' là trung điểm của HD, nên I'H = 1/2 * HD.
Vì I' là điểm đối xứng của I qua trung điểm của AD, nên I'D = ID.
Vậy ta có: I'H = 1/2 * HD = ID = I'D.

Do đó, ta có tam giác I'HD là tam giác đều.
Vì tam giác I'HD là tam giác đều, nên góc I'HD = 60 độ.
Vì tam giác I'HD là tam giác đều, nên góc I'DH = 60 độ.
Vì tam giác I'HD là tam giác đều, nên góc I'DH = góc I'HD = 60 độ.

Vậy ta có: góc I'DH = góc I'DH = 60 độ.
Vậy ta có: tam giác I'DH là tam giác cân tại D.

Vì tam giác I'DH là tam giác cân tại D, nên góc IDH = góc IHD.
Vì tam giác I'DH là tam giác cân tại D, nên góc I'DH = góc IDH.
Vậy ta có: góc IDH = góc IHD.

Do đó, ta có: tam giác IDH là tam giác cân tại D.

Vậy ta có: I, H, D thẳng hàng và AH = 2OI.

c) Gọi K' là điểm đối xứng của K qua trung điểm của AD. Ta sẽ chứng minh rằng K', D, H thẳng hàng.

Vì K là điểm trên đường tròn đường kính AH, nên góc AKH = 90 độ.
Vì K' là điểm đối xứng của K qua trung điểm của AD, nên góc AK'H = 90 độ.

Vậy ta có: góc AKH = góc AK'H = 90 độ.
Vậy ta có: tam giác AKH là tam giác vuông tại K'.

Vì tam giác AKH là tam giác vuông tại K', nên góc K'AH = góc K'HA.
Vì tam giác AKH là tam giác vuông tại K', nên góc K'HA = góc K'AH.
Vậy ta có: góc K'AH = góc K'HA.

Do đó, ta có: tam giác K'AH là tam giác cân tại A.

Vậy ta có: K', D, H thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng D, H, K thẳng hàng.