a) Tính góc EMF

Ta biết rằng tam giác ABC là tam giác đều, do đó các góc trong tam giác này đều bằng 60°.

Gọi x là góc AMB. Khi đó, ta có góc EMB = 90° - x và góc FMC = 90° - (60° + x) = 30° - x.

Vì tam giác EMF là tam giác vuông tại E và F, nên tổng các góc bằng 180°.

Góc EMF = 180° - góc EMB - góc FMC = 180° - (90° - x) - (30° - x) = 180° - 90° + x - 30° + x = 90° + 2x.

Vậy, góc EMF = 90° + 2x.

b) Chứng minh tam giác DIF là tam giác đều

Gọi y là góc MFA, khi đó góc DMA = 180° - (90° + y) = 90° - y.

Góc DMI = góc DMA + góc AMI = (90° - y) + x.

Vì tam giác ADI là tam giác đều, nên góc ADI = 60°.

Do đó, góc DFI = góc DMI - góc DMF = (90° - y + x) - (30° - x) = 60° - y.

Tương tự, ta có góc IDF = góc IFD = 60° - y.

Vậy, tam giác DIF là tam giác đều, với các góc bằng 60°.

c) Chứng minh tam giác DIEF là hình thoi

Ta biết rằng I là trung điểm của AM, do đó IM = IA / 2.

Ta cũng biết rằng tam giác DIA là tam giác vuông tại D, do đó DI = DA / √2.

Mà tam giác DIA là tam giác đều, nên DA = IA.

Khi đó, ta có DI = DA / √2 = IA / √2 = IM.

Tương tự, ta có EI = IF = FM = IM.

Vậy, các cạnh của tam giác DIEF đều bằng nhau.

Do đó, tam giác DIEF là hình thoi.