a^3 + b^3 + c^3 - abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)), ta có thể sử dụng công thức nhân đơn: (x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2).

(a^3 + b^3 + c^3 - abc) = (a^3 - abc) + (b^3 - abc) + (c^3 - abc)

= a(a^2 - bc) + b(b^2 - ac) + c(c^2 - ab)

= a(a^2 - ab - ac + bc) + b(b^2 - ab - bc + ac) + c(c^2 - ac - bc + ab)

= a(a^2 + ab + ac - bc) + b(b^2 + ab + bc - ac) + c(c^2 + ac + bc - ab)

= a(a^2 + ab + ac) - a(bc) + b(b^2 + ab + bc) - b(ac) + c(c^2 + ac + bc) - c(ab)

= a(a^2 + ab + ac) + b(b^2 + ab + bc) + c(c^2 + ac + bc) - a(bc) - b(ac) - c(ab)

= a(a^2 + ab + ac) + b(b^2 + ab + bc) + c(c^2 + ac + bc) - ab(a + b) - ac(a + c) - bc(b + c)

= a(a^2 + ab + ac) + b(b^2 + ab + bc) + c(c^2 + ac + bc) - a^2b - abc - a^2c - abc - b^2c - abc - ac^2 - abc - bc^2

= a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc + ac^2 + b^3 + b^2c + bc^2 + c^3 - a^2b - abc - a^2c - abc - b^2c - abc - ac^2 - abc - bc^2

= a^3 + b^3 + c^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc + ac^2 + b^2c + bc^2 - a^2b - abc - a^2c - abc - b^2c - abc - ac^2 - abc - bc^2

= a^3 + b^3 + c^3 - abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 - a^2b - a^2c - b^2c - ac^2 - bc^2

= a^3 + b^3 + c^3 - abc + a^2b - a^2b + a^2c - a^2c + ab^2 - b^2c + ab^2 - b^2c + ac^2 - ac^2 + bc^2 - bc^2

= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức a^3 + b^3 + c^3 - abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)