Bắt đầu với bất đẳng thức đã cho:
2abc(a+b+c) ≤ 5/9 + a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2
Chúng ta có thể viết lại thành:
18abc(a+b+c) ≤ 15/9 + 9a^4b^2+9b^4c ^2+9c ^4a ^2
Tiếp theo, chúng ta áp dụng
Ung dụng BDT AM-GM (Bất đẳng thức Trung Bình - Cội Nhỏ): 3abc(a+b+c) ≤ (ab+bc+ca)^3 Vì ab+bc+ca = 1 theo giả thiết ban đầu, nên: 3abc(a+b+c) ≤ (1)^3 => abc(a+b+c) ≤ 1/3
Tiếp tục từ bước trước: 18abc(a+b+c) ≤ 6(ab+bc+ca)^3 => abc(a+b+c)≤ ( ab + bc + ca )^ 3 / 6 => abc (a +b +c ) ≤ ( 1 / 6 )
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng: 9a^4b^2+9b^4c ^2+9c ^4a ^2 ≤ 5/6
Áp dụng Ung dụng BDT AM-GM một lần nữa:3a^4b^2 + 3b ^ 4c ^ 2 + 3 _ _ c ^ 4 a ^ 2 ≤ ( a ^ 4 b ^ 2 +b ^ 4 c ^ 2 +c ^ 4 a )^ 3 V ì ab + bc + ca = 1
theo giả thiết ban đầu, nên: 3(a^ 4 b ^ 2 +b ^ 4 c ^ 2 +c ^ 4 a )^ 3 ≤ ( 1 )^ 3 => a ^ 6 b ² + b ³ c ² + c ⁴ a ² ≤ 1 / 3
T ổng cộng, ta có: abc(a+b+c) + a⁶ b² + b³ c² + c⁴ a² ≤ (1/6) + (1/3) => abc(a+b+c) + a⁶ b² + b³ c² + c⁴ a² ≤ 5/6
Do đó, ta đã chứng minh được rằng: abc(a+b+c) ≤ 5/9+a⁴ b²+b⁴ c²+c ⁴ a.
Vậy điều phải chứng minh đã được thể hiện.abc(a+b+c) ≤ 5/9+a⁴ b²+b⁴ c²+c ⁴ a.