Để xét tính tăng giảm của dãy số (un) với un = 5^n/n², ta có thể sử dụng phương pháp lấy đạo hàm.

Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số f(n) = 5^n/n². Để tính đạo hàm, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số chia.

Đạo hàm của hàm số mũ f(x) = a^x (với a là hằng số) là f'(x) = a^x * ln(a), trong đó ln(a) là logarithm tự nhiên của a.

Đạo hàm của hàm số chia f(x) = g(x)/h(x) là f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x))/[h(x)]^2.

Áp dụng quy tắc trên vào hàm số f(n) = 5^n/n², ta có:

f'(n) = [(5^n * ln(5) * n²) - (5^n * 2n)] / [n²]^2
= (5^n * ln(5) * n² - 10^n * n) / n^4
= (5^n * ln(5) * n² - 10^n * n) / n^4

Để xét tính tăng giảm của dãy số (un), ta cần xét dấu của f'(n). Để làm điều này, ta sẽ xét dấu của từng thành phần trong f'(n).

- Đối với 5^n * ln(5) * n², ta thấy rằng 5^n và ln(5) đều là hằng số dương. Vì vậy, tích của chúng cũng là dương. Ngoài ra, n² là bình phương của một số, do đó n² cũng là dương. Vậy, thành phần này luôn là dương.

- Đối với 10^n * n, ta thấy rằng 10^n là một hằng số dương. Ngoài ra, n là số nguyên dương. Vì vậy, tích của chúng cũng là dương.

- Đối với n^4, ta thấy rằng n^4 là bình phương của một số, do đó n^4 cũng là dương.

Từ những phân tích trên, ta thấy rằng tất cả các thành phần trong f'(n) đều là dương. Vì vậy, f'(n) luôn là dương.

Kết luận: Dãy số (un) là một dãy tăng với un = 5^n/n².