a) Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, ta cần đảm bảo rằng chỉ có một biến số m trong hàm số. Điều này đồng nghĩa với việc hệ số của m chỉ bằng một số cố định.

Trong hàm số y = (m-1)x + m + 2, ta thấy có hai hệ số của m, là m-1 và m. Vì vậy, để hàm số này là hàm số bậc nhất, ta cần điều kiện m-1 = 0 hoặc m = 0.

Từ đó, ta tìm được m = 1 là điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) Để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = 5x + 3, ta cần tìm giá trị m sao cho phương trình hàm số và đường thẳng có nghiệm chung.

Thay y = 5x + 3 vào hàm số y = (m-1)x + m + 2 ta được: 5x + 3 = (m-1)x + m + 2

Suy ra, (m-1)x - (m+2) = 0

Để phương trình trên có nghiệm chung, hệ số của x phải bằng nhau, vì vậy (m-1) = 5.

Từ đó, ta tìm được m = 6 là giá trị để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = 5x + 3.

c) Để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm M(1;2), ta thay x = 1 và y = 2 vào phương trình hàm số:

2 = (m-1)*1 + m + 2

Suy ra, 2 = m-1 + m + 2

Kết quả là 2 = 2m + 1

Giải phương trình trên, ta được m = 1/2.

Để tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng y = 5x + 3, ta áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Khoảng cách từ O đến đường thẳng y = 5x + 3 là:

d(O, y = 5x + 3) = |0 - 0 + 3| / √(5^2 + 1^2) = 3 / √26