a) Ta có AO là đường kính của nửa đường tròn tâm O’, nên O’A vuông góc với AD. Mà O’A cắt AD tại C, nên AC vuông góc với AD. Do đó, AC là đường cao của tam giác ACD, nên C là trung điểm của AD.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau.

Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D. Ta cần chứng minh rằng E nằm trên đường tròn (O’).

Ta có:
∠CAB = ∠CDB (cùng nằm trên cùng một cung CD)
∠CBA = ∠CDA (cùng nằm trên cùng một cung CD)
∠CAB + ∠CBA = ∠CDB + ∠CDA
∠CAB + ∠CBA = 180° (góc nội tiếp của tam giác ABC)
∠CDB + ∠CDA = 180° (góc nội tiếp của tam giác CDA)

Do đó, ta có ∠CAB + ∠CBA = ∠CDB + ∠CDA = 180°.

Vậy, ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, nên E nằm trên đường tròn (O’).

b) Để BC là tiếp tuyến của (O’), ta cần chứng minh rằng BC vuông góc với AO’.

Gọi F là giao điểm của BC và AO’. Ta cần chứng minh rằng F nằm trên đường tròn (O).

Ta có:
∠CAB = ∠CDB (cùng nằm trên cùng một cung CD)
∠CBA = ∠CDA (cùng nằm trên cùng một cung CD)
∠CAB + ∠CBA = ∠CDB + ∠CDA
∠CAB + ∠CBA = 180° (góc nội tiếp của tam giác ABC)
∠CDB + ∠CDA = 180° (góc nội tiếp của tam giác CDA)

Do đó, ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, nên F nằm trên đường tròn (O).

Vậy, ta có BC là tiếp tuyến của (O’).