Để chứng minh MNPQ là hình vuông, ta cần chứng minh các cạnh của nó bằng nhau và các đường chéo của nó vuông góc với nhau.

Ta có:
- Vì ABDE là hình vuông nên AM là đường đối xứng của AD qua trung điểm của AB, do đó AM song song với BC.
- Tương tự, AF song song với BC.
- Do đó, AM và AF cắt nhau tại điểm vô hạn, gọi là M.
- Tương tự, BN và CQ cắt nhau tại điểm vô hạn, gọi là N.

Ta cần chứng minh MNPQ là hình vuông, nên ta cần chứng minh các cạnh của nó bằng nhau và các đường chéo của nó vuông góc với nhau.

- Ta có: AM = AF (vì ABDE là hình vuông)
- Ta cũng có: BN = CQ (vì ACFG là hình vuông)
- Vì AM = AF và BN = CQ, nên MNPQ là hình bình hành.
- Ta cần chứng minh MN = MP và NP = NQ để chứng minh MNPQ là hình vuông.

- Ta có: MN là đường trung bình của hình bình hành MNPQ, nên MN = \(\frac{1}{2}(MP + NQ)\) (1)
- Ta cũng có: MP là đường chéo của hình vuông ABDE, nên MP = \(\sqrt{2}AB\) (2)
- Tương tự, NQ = \(\sqrt{2}AC\) (3)
- Từ (1), (2) và (3), ta có: MN = \(\frac{1}{2}(\sqrt{2}AB + \sqrt{2}AC)\)
- Vì AB = AC (vì ABC là tam giác), nên ta có: MN = \(\frac{1}{2}(\sqrt{2}AB + \sqrt{2}AB) = \sqrt{2}AB\)
- Ta cũng có: NP là đường trung bình của hình bình hành MNPQ, nên NP = \(\frac{1}{2}(MN + PQ)\) (4)
- Từ (4) và MN = PQ, ta có: NP = \(\frac{1}{2}(MN + MN) = MN\)
- Tương tự, ta cũng có: MP = NQ
- Vậy MN = MP = NP = NQ, nên MNPQ là hình vuông.

Vậy, ta đã chứng minh được MNPQ là hình vuông.