a) Ta có HD//AC và AH là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng. Do đó, ta có:
$\frac{AH}{AB}=\frac{HD}{AC}$
$\Rightarrow AH=\frac{HD}{AC} \cdot AB$
Tương tự, ta có HP//AB và AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên tam giác AHP và tam giác ABC đồng dạng. Do đó, ta có:
$\frac{AH}{AB}=\frac{HP}{AC}$
$\Rightarrow AH=\frac{HP}{AC} \cdot AB$
So sánh hai biểu thức trên, ta có:
$\frac{HD}{AC}=\frac{HP}{AC}$
$\Rightarrow HD=HP$
Vậy, ta có AH=DP.

b) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có AM=MB. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có $\angle BAC=90^\circ$. Khi đó, ta có $\angle MAC=\angle MAB+\angle BAC=\angle MAB+90^\circ$. Vì AM=MB, nên ta có $\angle MAB=\angle MBA$. Do đó, ta có:
$\angle MAC=\angle MBA+90^\circ$
$\Rightarrow \angle MAC=180^\circ-90^\circ$
$\Rightarrow \angle MAC=90^\circ$
Vậy, tam giác MAC là tam giác vuông.

c) Ta có AP//BC (do AP//AB và AB//BC), nên ta có $\angle APN=\angle ABC$. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có $\angle ABC=90^\circ$. Khi đó, ta có $\angle APN=90^\circ$. Vậy, tam giác APN là tam giác vuông.