a) Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số mũ 3 từ 1 đến 100 chia hết cho 3.

Ta có công thức tổng của dãy số mũ là: S = (a^n - 1)/(a - 1), với a là số cơ số và n là số lượng số trong dãy.

Áp dụng công thức này vào dãy số mũ 3, ta có: S = (3^101 - 1)/(3 - 1) = (3^101 - 1)/2.

Ta thấy rằng 3^101 - 1 chia hết cho 3, vì 3^101 chia hết cho 3 và 1 chia hết cho 3.

Vậy S = (3^101 - 1)/2 chia hết cho 3.

Do đó, A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 = 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^99) chia hết cho 3.

Tương tự, ta có thể chứng minh rằng A chia hết cho 4, 10 và 13 bằng cách chứng minh rằng S chia hết cho 4, 10 và 13.

b) Để tìm n biết 2A + 3 = 3^n, ta thay A = (3^101 - 1)/2 vào phương trình.

Ta có: 2A + 3 = 2(3^101 - 1)/2 + 3 = 3^101 - 1 + 3 = 3^101 + 2.

Vậy 3^101 + 2 = 3^n.

Do đó, n = 101.