Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau

Ta có:
- Gọi I là giao điểm của AB và O2O3.
- Gọi D là giao điểm của O1O2 và O1O3.
- Gọi E là giao điểm của O1O2 và AB.
- Gọi F là giao điểm của O1O3 và AB.

Ta cần chứng minh MN || O2O3, tức là chứng minh tứ giác AMIN là tứ giác điều hòa.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác O1O2O3 và đường thẳng AB, ta có:
(O1D/O1O2) * (O2E/O2O3) * (O3F/O3D) = 1
⇔ (O1D/O1O2) * (O2E/O2O3) = (O3D/O3F) (1)

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác O1O2O3 và đường thẳng AB, ta có:
(O1D/O1O2) * (O2C/O2B) * (BA/AD) = 1
⇔ (O1D/O1O2) * (O2C/O2B) = (AD/BA) (2)

Từ (1) và (2), ta có:
(O3D/O3F) * (O2C/O2B) = (AD/BA) * (O2E/O2O3)
⇔ (O3D/O3F) * (O2C/O2E) = (AD/BA) * (O2B/O2O3)

Vì (O2C/O2E) = (O2B/O2O3) (vì tam giác O2BC đồng dạng với tam giác O2O3E), nên ta có:
(O3D/O3F) = (AD/BA)

Từ đó, ta suy ra tứ giác AMIN là tứ giác điều hòa, nghĩa là MN || O2O3.