a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC. Vì BE = CF < 1/2 BC, ta có BE + CF < BC. Từ đó, ta suy ra AB + AE + AC + AF < BC + BE + CF = BC + BC = 2BC. Nhưng AB = AC, nên ta có AB + AE + AC + AF = 2AB + AE + AF = 2AB + EF. Vậy, ta có 2AB + EF < 2BC. Do đó, ta có 2AB < 2BC - EF. Nhưng AB = AC, nên ta có 2AC < 2BC - EF. Từ đó, ta suy ra AC < BC - EF/2. Vì BE = CF < 1/2 BC, nên EF < BC - EF/2. Từ đó, ta có EF/2 < BC - EF/2. Do đó, ta có EF/2 < BC - EF/2 < BC. Vậy, ta có AC < EF/2 < BC. Do đó, tam giác AEF cân tại A. b) Ta có EM vuông góc AB và FN vuông góc AC. Vì EM vuông góc AB, nên ta có EM ⊥ AB. Tương tự, ta có FN ⊥ AC. Vậy, ta có EM ⊥ AB và FN ⊥ AC. Để chứng minh EM = FN, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC. Từ đó, ta có AB + AE = AC + AF. Nhưng ta cũng có BE = CF. Từ đó, ta có AB + AE + BE = AC + AF + CF. Từ đó, ta có AB + BE + AE = AC + CF + AF. Nhưng AB = AC, nên ta có AB + BE + AE = AB + CF + AF. Từ đó, ta có AB + EM = AB + FN. Do đó, ta có EM = FN. Vậy, ta đã chứng minh được EM = FN. c) Gọi I là trung điểm của EF. Ta cần chứng minh rằng 3 điểm A, I, K thẳng hàng. Vì I là trung điểm của EF, nên ta có AI là đường trung bình của tam giác AEF. Vì tam giác AEF cân tại A, nên ta có AI là đường cao của tam giác AEF. Từ đó, ta có AI ⊥ EF. Vì EM ⊥ AB và FN ⊥ AC, nên ta có EM || FN. Từ đó, ta có AI ⊥ EM và AI ⊥ FN. Do đó, ta có AI là đường cao của tam giác EMF. Vậy, ta có AI là đường cao của cả hai tam giác AEF và EMF. Vì vậy, ta có AI ⊥ EF và AI là đường cao của cả hai tam giác. Vì AI ⊥ EF và AI là đường cao của tam giác AEF, nên ta có AI là đường trung trực của EF. Tương tự, ta có AI là đường trung trực của EM và FN. Vậy, ta có AI là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng EM và FN. Do đó, ta có I nằm trên đường thẳng EM và FN. Vậy, ta đã chứng minh được 3 điểm A, I, K thẳng hàng.
...