Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao A,. Gọi E; F là hình chiếu vuông góc của H trên AC; AB

Để chứng minh EF là tiếp tuyến chung của các đường tròn đường kính HB và HC, ta cần chứng minh EF vuông góc với HB và HC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM cắt EF tại trung điểm N của EF.

Ta có:
∠HNE = ∠HAE (cùng chắn cung HE trên đường tròn đường kính HB)
∠HME = ∠HAF (cùng chắn cung HF trên đường tròn đường kính HC)
∠HAE = ∠HAF (do AH là đường cao của tam giác ABC)
⇒ ∠HNE = ∠HME

Vậy tam giác HNE và HME cân tại H.
⇒ HN = HM

Ta có:
∠HNB = ∠HAB (cùng chắn cung HB trên đường tròn đường kính HB)
∠HMB = ∠HCB (cùng chắn cung HC trên đường tròn đường kính HC)
∠HAB = ∠HCB (do AH là đường cao của tam giác ABC)
⇒ ∠HNB = ∠HMB

Vậy tam giác HNB và HMB đồng dạng.
⇒ ∠HBN = ∠HBM

Vì HN = HM và ∠HBN = ∠HBM, nên tam giác HNB và HMB là tam giác đồng dạng.
⇒ ∠NEH = ∠MEH

Vậy EF vuông góc với HB và HC.
⇒ EF là tiếp tuyến chung của các đường tròn đường kính HB và HC.