Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF giao nhau tại trực tâm H, Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Ta có:
$\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH = \angle BHE + \angle CHF = \angle BFE + \angle CEF = \angle BEF + \angle CFE = \angle BEY + \angle CFZ = \angle BEY + \angle CEZ = \angle BEY + \angle CEY = \angle BEC = \angle BIC$
Vậy $\angle BAC = \angle BIC$
Do đó, tam giác $ABI$ và $ACI$ đồng dạng.
Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
$\frac{AJ}{AI} = \frac{EF}{BC}$
Mà $\frac{EF}{BC} = \cos \angle BAC$ (do $\angle BAC$ là góc giữa $EF$ và $BC$)
Vậy $\frac{AJ}{AI} = \cos \angle BAC$