Chứng minh 3 điểm B; M; N thẳng hàng, Tính độ dài MN

Để chứng minh 3 điểm B, M, N thẳng hàng, ta cần chứng minh tứ giác AMON là tứ giác điều hòa.

Vì AM là đường kính của đường tròn (O), nên góc AOM = 90 độ.
Tương tự, góc AON = 90 độ.

Ta có OO' = 5cm, R = 4cm và R' = 3cm.
Theo định lý Pythagoras, ta có:
AO^2 + OO'^2 = AO'^2
=> 4^2 + 5^2 = AO'^2
=> 16 + 25 = AO'^2
=> AO'^2 = 41
=> AO' = √41

Vì AM là đường kính của đường tròn (O), nên AM = 2R = 2 * 4 = 8cm.
Vì AN là đường kính của đường tròn (O'), nên AN = 2R' = 2 * 3 = 6cm.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AOM, ta có:
OM^2 = AO^2 + AM^2 - 2 * AO * AM * cos(AOM)
=> OM^2 = 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * cos(90)
=> OM^2 = 16 + 64 - 64 * 0
=> OM^2 = 80
=> OM = √80 = 4√5

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AON, ta có:
ON^2 = AO'^2 + AN^2 - 2 * AO' * AN * cos(AON)
=> ON^2 = (√41)^2 + 6^2 - 2 * √41 * 6 * cos(90)
=> ON^2 = 41 + 36 - 72 * 0
=> ON^2 = 77
=> ON = √77

Vậy, ta có MN = MO + ON = 4√5 + √77.