a) Ta có:

^OBA= 90° (AB là tiếp tuyến của (O)).

^OCA= 90° (AC là tiếp tuyến của (O)).

Xét tứ giác ABOC có ^OBA + ^OCA =  90° + 90° = 180°.

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

^NAB là góc chung.

^ANB=^ABM (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM ∞  ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra  AMAB=BMNB⇔AB.BM = AM.NB (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có ^OBA = 90° suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra ^OKM=^OKA= 90° dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM  ∆ANB (cmt) nên ta có: ABAN=AMAB

Û AB2 = AM.AN.

Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM.AN = AH.AO Û AMAO=AHAN.

Xét ∆AMH và ∆AON có:

^OAN là góc chung

AMAO=AHAN (cmt)

Suy ra ∆AMH  ∆AON (c.g.c)

Từ đó suy ra ^AMH=^AON  (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra ^KMH=^KAC (hai góc đồng vị).

Ta lại có ^KBC=^KAC  (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra ^KBH=^KMH suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

^MKH=^MBH (tứ giác KBMH nội tiếp)

^MNC=^MBC (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

⇒ ^MKH=^MNC ⇒ KH//NC       (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

⇒ IH là đường trung bình của tam giác NBC ⇒ IH // NC           (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).